arctanx的原函数怎么算
时间：2026-05-09 04:48:40来源：
计算 $ int arctan x , dx $ 可以使用分部积分法。设 $ u = arctan x $，$ dv = dx $，则 $ du = frac{1}{1+x^2}dx $，$ v = x $。根据分部积分公式 $ int u , dv = uv - int v , du $，可得：
$$
int arctan x , dx = x arctan x - int frac{x}{1+x^2} dx
$$
对第二项积分，令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = frac{dt}{2} $，得到：
$$
int frac{x}{1+x^2} dx = frac{1}{2} ln(1+x^2) + C
$$
最终结果为：
$$
int arctan x , dx = x arctan x - frac{1}{2} ln(1+x^2) + C
$$
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $ u = arctan x $，$ dv = dx $ |
| 2 | 得 $ du = frac{1}{1+x^2} dx $，$ v = x $ |
| 3 | 应用分部积分公式：$ uv - int v , du $ |
| 4 | 计算 $ int frac{x}{1+x^2} dx $，得 $ frac{1}{2} ln(1+x^2) $ |
| 5 | 最终结果：$ x arctan x - frac{1}{2} ln(1+x^2) + C $ |
